基础物理-测量1

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引言

科学和工程学基于测量和比较。因此，我们需要制定关于如何测量和比较事物的规则，并且需要实验来建立这些测量和比较的单位。

国际标准单位

1971年，第十四届国际计量大会选定了七个量作为基本量，表中列出了其中三个。

Quantity	Unit Name	Unit Symbol
Length	meter	m
Mass	kilogram	kg
Time	second	s

为了进一步方便处理非常大或非常小的测量值，我们使用下表中列出的前缀。

Factor	Prefix	Symbol
10^24	yotta	Y
10^21	zetta	Z
10^18	exa	E
10^15	peta	P
10^12	tera	T
10^9	giga	G
10^6	mega	M
10^3	kilo	k
10^2	hecto	h
10^1	deka	da
10^-1	deci	d
10^-2	centi	c
10^-3	milli	m
10^-6	micro	μ
10^-9	nano	n
10^-12	pico	p
10^-15	femto	f
10^-18	atto	a
10^-21	zepto	z
10^-24	yocto	y

例一
2.35×10−9 s=2.35 nanoseconds=2.35 ns2.35 \times 10^{-9} \, \text{s} = 2.35 \, \text{nanoseconds} = 2.35 \, \text{ns}2.35×10−9s=2.35nanoseconds=2.35ns

单位转化

在转换中，单位遵循与变量和数字相同的代数规则。简单来说就是可以使用约分操作。

例二 已知 1min=60s1\text{min} = 60\text{s}1min=60s，也就是
1 min60 s=1 and 60 s1 min=1.\frac{1 \, \text{min}}{60 \, \text{s}} = 1 \, \text{and} \, \frac{60 \, \text{s}}{1 \, \text{min}} = 1.60s1min​=1and1min60s​=1.
将2min2\text{min}2min转换为秒。
解：
2 min=(2 min)(1)=(2 min)(60 s1 min)=120 s.2 \, \text{min} = (2 \, \text{min})(1) = (2 \, \text{min}) \left( \frac{60 \, \text{s}}{1 \, \text{min}} \right) = 120 \, \text{s}.2min=(2min)(1)=(2min)(1min60s​)=120s.

标准长度的测量方式

最新的标准，将米定义为：光在真空中1/299,792,458秒内行进的距离。这一定义利用了光速的恒定性和可测量性。

测量方法：使用激光干涉仪和原子钟来测量。

1. 激光干涉仪：
   • 使用高精度激光：激光器发出的光具有极高的相干性和稳定性，适合用于精确测量。
   • 干涉测量：通过干涉仪测量光波的波长和干涉条纹的移动，可以精确确定光在特定时间间隔内行进的距离。
2. 原子钟：
   • 高精度计时：原子钟利用原子振动的稳定频率提供极高精度的时间测量。通过原子钟，可以精确测量1/299,792,458秒这一时间间隔。
   • 时间和距离的关系：利用原子钟提供的精确时间，可以计算出光在这一时间内行进的距离。

由上可知，光在真空中的速度为：
c=299 792 458 m/sc = 299 \, 792 \, 458 \, \text{m/s}c=299792458m/s

有效数字和小数位数

有效数字（Significant Figures）

定义：
有效数字是一个数字中有意义的数字，用于表示测量的精度。它们包括从第一个非零数字到最后一个非零数字之间的所有数字，包括零。

举例：

• 123.45 有五个有效数字（1、2、3、4、5）。
• 0.00123 有三个有效数字（1、2、3），前面的零不算有效数字。
• 1000 可能只有一个有效数字（1），但如果写作1000.，则表示有四个有效数字（1、0、0、0）。

四舍五入规则：

• 当需要舍弃的位数的第一个数字是5或更大时，前一位数字进1。
• 当需要舍弃的位数的第一个数字小于5时，前一位数字保持不变。

小数位数（Decimal Places）

定义：
小数位数是指小数点后面的数字的数量。这些数字用于表示测量的精度，但与有效数字不同，它们不考虑整体数字的长度，只考虑小数部分。

举例：

• 0.123 有三位小数（1、2、3）。
• 3.14159 有五位小数（1、4、1、5、9）。
• 2.0 有一位小数（0）。

标准长度的测量方式

最新的标准，将米定义为：光在真空中1/299,792,458秒内行进的距离。这一定义利用了光速的恒定性和可测量性。

测量方法：使用激光干涉仪和原子钟来测量。

1. 激光干涉仪：
   • 使用高精度激光：激光器发出的光具有极高的相干性和稳定性，适合用于精确测量。
   • 干涉测量：通过干涉仪测量光波的波长和干涉条纹的移动，可以精确确定光在特定时间间隔内行进的距离。
2. 原子钟：
   • 高精度计时：原子钟利用原子振动的稳定频率提供极高精度的时间测量。通过原子钟，可以精确测量1/299,792,458秒这一时间间隔。
   • 时间和距离的关系：利用原子钟提供的精确时间，可以计算出光在这一时间内行进的距离。

由上可知，光在真空中的速度为：
c=299 792 458 m/sc = 299 \, 792 \, 458 \, \text{m/s}c=299792458m/s

例一 世界上最大绳球的半径为2m。请问球中绳子的总长度LLL是多少（四舍五入到最接近的数量级）？

解：
因为球中绳子不是紧密堆积的，为了考虑这些间隙，让我们稍微高估一下绳子的横截面积，假设横截面是边长为d=4d = 4d=4毫米的正方形。那么绳子占到总体积为：
V=(cross-sectional area)(length)=d2L.V = (\text{cross-sectional area})(\text{length}) = d^2 L.V=(cross-sectional area)(length)=d2L.
球的体积公式为43πR3\frac{4}{3}\pi R^334​πR3，π\piπ大约为333，因此我们有：
d2L=4R3,orL=4R3d2=4(2 m)3(4×10−3 m)2=2×106 m≈106 m=103 km.\begin{align*}d^2 L = 4R^3, \\\quad \text{or} \quad L = \frac{4R^3}{d^2} &= \frac{4(2 \, \text{m})^3}{(4 \times 10^{-3} \, \text{m})^2} \\ &= 2 \times 10^6 \, \text{m} \approx 10^6 \, \text{m} = 10^3 \, \text{km}.\end{align*}d2L=4R3,orL=d24R3​​=(4×10−3m)24(2m)3​=2×106m≈106m=103km.​

1 km=1000 m1 \, \text{km} = 1000 \, \text{m}1km=1000m

练习

1.假设当你躺在赤道附近的海滩上看着太阳在平静的海面上落下时，正好在太阳顶部消失时启动秒表。然后你站起来，把眼睛抬高了H = 1.70米，当太阳顶部再次消失时停止秒表。如果经过的时间是t = 11.1秒，地球的半径r是多少？
2.一个底面积为14.0厘米乘以17.0厘米的垂直容器正在被填满相同的糖果，每个糖果的体积为50.0立方毫米，质量为0.0200克。假设糖果之间的空隙体积可以忽略不计。如果容器中糖果的高度以0.250厘米每秒的速度增加，容器中糖果的质量增加速率是多少（千克每分钟）？
3.水被倒入一个有小漏孔的容器中。水的质量m作为时间t的函数给出为：m=5.00t0.8−3.00t+20.00m = 5.00t^{0.8} - 3.00t + 20.00m=5.00t0.8−3.00t+20.00
其中 $t \geq 0 $, mmm 的单位是克， ( t ) 的单位是秒。
(a) 水的质量在什么时候最大，(b) 那最大质量是多少？以千克每分钟为单位，求在 © ( t = 2.00 ) 秒 和 (d) ( t = 5.00 ) 秒 时质量变化的速率。
4.在美国，一个玩具房子的比例是实际房子的1:12（即玩具房子的每个长度是实际房子的1/12），而一个微型房子（适合放入玩具房子的玩具房子）的比例是实际房子的1:144。假设一座实际房子（图）的前长度为20米，深度为12米，高度为6.0米，并且有一个标准的斜屋顶（两端为垂直三角形的面），屋顶高度为3.0米。以立方米为单位，求相应的(a)玩具房子和(b)微型房子的体积。

5.一个典型的方糖边长为1厘米。如果你有一个立方体盒子，里面装有一摩尔的方糖，这个盒子的边长是多少？（一摩尔 = 6.02 × 10^23 个单位。）

引言

科学和工程学基于测量和比较。因此，我们需要制定关于如何测量和比较事物的规则，并且需要实验来建立这些测量和比较的单位。

国际标准单位

1971年，第十四届国际计量大会选定了七个量作为基本量，表中列出了其中三个。

Quantity	Unit Name	Unit Symbol
Length	meter	m
Mass	kilogram	kg
Time	second	s

为了进一步方便处理非常大或非常小的测量值，我们使用下表中列出的前缀。

Factor	Prefix	Symbol
10^24	yotta	Y
10^21	zetta	Z
10^18	exa	E
10^15	peta	P
10^12	tera	T
10^9	giga	G
10^6	mega	M
10^3	kilo	k
10^2	hecto	h
10^1	deka	da
10^-1	deci	d
10^-2	centi	c
10^-3	milli	m
10^-6	micro	μ
10^-9	nano	n
10^-12	pico	p
10^-15	femto	f
10^-18	atto	a
10^-21	zepto	z
10^-24	yocto	y

例一
2.35×10−9 s=2.35 nanoseconds=2.35 ns2.35 \times 10^{-9} \, \text{s} = 2.35 \, \text{nanoseconds} = 2.35 \, \text{ns}2.35×10−9s=2.35nanoseconds=2.35ns

单位转化

在转换中，单位遵循与变量和数字相同的代数规则。简单来说就是可以使用约分操作。

例二 已知 1min=60s1\text{min} = 60\text{s}1min=60s，也就是
1 min60 s=1 and 60 s1 min=1.\frac{1 \, \text{min}}{60 \, \text{s}} = 1 \, \text{and} \, \frac{60 \, \text{s}}{1 \, \text{min}} = 1.60s1min​=1and1min60s​=1.
将2min2\text{min}2min转换为秒。
解：
2 min=(2 min)(1)=(2 min)(60 s1 min)=120 s.2 \, \text{min} = (2 \, \text{min})(1) = (2 \, \text{min}) \left( \frac{60 \, \text{s}}{1 \, \text{min}} \right) = 120 \, \text{s}.2min=(2min)(1)=(2min)(1min60s​)=120s.

标准长度的测量方式

最新的标准，将米定义为：光在真空中1/299,792,458秒内行进的距离。这一定义利用了光速的恒定性和可测量性。

测量方法：使用激光干涉仪和原子钟来测量。

1. 激光干涉仪：
   • 使用高精度激光：激光器发出的光具有极高的相干性和稳定性，适合用于精确测量。
   • 干涉测量：通过干涉仪测量光波的波长和干涉条纹的移动，可以精确确定光在特定时间间隔内行进的距离。
2. 原子钟：
   • 高精度计时：原子钟利用原子振动的稳定频率提供极高精度的时间测量。通过原子钟，可以精确测量1/299,792,458秒这一时间间隔。
   • 时间和距离的关系：利用原子钟提供的精确时间，可以计算出光在这一时间内行进的距离。

由上可知，光在真空中的速度为：
c=299 792 458 m/sc = 299 \, 792 \, 458 \, \text{m/s}c=299792458m/s

有效数字和小数位数

有效数字（Significant Figures）

定义：
有效数字是一个数字中有意义的数字，用于表示测量的精度。它们包括从第一个非零数字到最后一个非零数字之间的所有数字，包括零。

举例：

• 123.45 有五个有效数字（1、2、3、4、5）。
• 0.00123 有三个有效数字（1、2、3），前面的零不算有效数字。
• 1000 可能只有一个有效数字（1），但如果写作1000.，则表示有四个有效数字（1、0、0、0）。

四舍五入规则：

• 当需要舍弃的位数的第一个数字是5或更大时，前一位数字进1。
• 当需要舍弃的位数的第一个数字小于5时，前一位数字保持不变。

小数位数（Decimal Places）

定义：
小数位数是指小数点后面的数字的数量。这些数字用于表示测量的精度，但与有效数字不同，它们不考虑整体数字的长度，只考虑小数部分。

举例：

• 0.123 有三位小数（1、2、3）。
• 3.14159 有五位小数（1、4、1、5、9）。
• 2.0 有一位小数（0）。

标准长度的测量方式

最新的标准，将米定义为：光在真空中1/299,792,458秒内行进的距离。这一定义利用了光速的恒定性和可测量性。

测量方法：使用激光干涉仪和原子钟来测量。

1. 激光干涉仪：
   • 使用高精度激光：激光器发出的光具有极高的相干性和稳定性，适合用于精确测量。
   • 干涉测量：通过干涉仪测量光波的波长和干涉条纹的移动，可以精确确定光在特定时间间隔内行进的距离。
2. 原子钟：
   • 高精度计时：原子钟利用原子振动的稳定频率提供极高精度的时间测量。通过原子钟，可以精确测量1/299,792,458秒这一时间间隔。
   • 时间和距离的关系：利用原子钟提供的精确时间，可以计算出光在这一时间内行进的距离。

由上可知，光在真空中的速度为：
c=299 792 458 m/sc = 299 \, 792 \, 458 \, \text{m/s}c=299792458m/s

例一 世界上最大绳球的半径为2m。请问球中绳子的总长度LLL是多少（四舍五入到最接近的数量级）？

解：
因为球中绳子不是紧密堆积的，为了考虑这些间隙，让我们稍微高估一下绳子的横截面积，假设横截面是边长为d=4d = 4d=4毫米的正方形。那么绳子占到总体积为：
V=(cross-sectional area)(length)=d2L.V = (\text{cross-sectional area})(\text{length}) = d^2 L.V=(cross-sectional area)(length)=d2L.
球的体积公式为43πR3\frac{4}{3}\pi R^334​πR3，π\piπ大约为333，因此我们有：
d2L=4R3,orL=4R3d2=4(2 m)3(4×10−3 m)2=2×106 m≈106 m=103 km.\begin{align*}d^2 L = 4R^3, \\\quad \text{or} \quad L = \frac{4R^3}{d^2} &= \frac{4(2 \, \text{m})^3}{(4 \times 10^{-3} \, \text{m})^2} \\ &= 2 \times 10^6 \, \text{m} \approx 10^6 \, \text{m} = 10^3 \, \text{km}.\end{align*}d2L=4R3,orL=d24R3​​=(4×10−3m)24(2m)3​=2×106m≈106m=103km.​

1 km=1000 m1 \, \text{km} = 1000 \, \text{m}1km=1000m

练习

1.假设当你躺在赤道附近的海滩上看着太阳在平静的海面上落下时，正好在太阳顶部消失时启动秒表。然后你站起来，把眼睛抬高了H = 1.70米，当太阳顶部再次消失时停止秒表。如果经过的时间是t = 11.1秒，地球的半径r是多少？
2.一个底面积为14.0厘米乘以17.0厘米的垂直容器正在被填满相同的糖果，每个糖果的体积为50.0立方毫米，质量为0.0200克。假设糖果之间的空隙体积可以忽略不计。如果容器中糖果的高度以0.250厘米每秒的速度增加，容器中糖果的质量增加速率是多少（千克每分钟）？
3.水被倒入一个有小漏孔的容器中。水的质量m作为时间t的函数给出为：m=5.00t0.8−3.00t+20.00m = 5.00t^{0.8} - 3.00t + 20.00m=5.00t0.8−3.00t+20.00
其中 $t \geq 0 $, mmm 的单位是克， ( t ) 的单位是秒。
(a) 水的质量在什么时候最大，(b) 那最大质量是多少？以千克每分钟为单位，求在 © ( t = 2.00 ) 秒 和 (d) ( t = 5.00 ) 秒 时质量变化的速率。
4.在美国，一个玩具房子的比例是实际房子的1:12（即玩具房子的每个长度是实际房子的1/12），而一个微型房子（适合放入玩具房子的玩具房子）的比例是实际房子的1:144。假设一座实际房子（图）的前长度为20米，深度为12米，高度为6.0米，并且有一个标准的斜屋顶（两端为垂直三角形的面），屋顶高度为3.0米。以立方米为单位，求相应的(a)玩具房子和(b)微型房子的体积。

5.一个典型的方糖边长为1厘米。如果你有一个立方体盒子，里面装有一摩尔的方糖，这个盒子的边长是多少？（一摩尔 = 6.02 × 10^23 个单位。）

本文标签： 测量物理基础