【机器人学】

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【机器人学】

机器人学基础-旋转变换

空间旋转矩阵中有九个元素，但是这九个元素满足六个约束方程，只有三个独立变量

^A_BX = [ ^AX_B ^AY_B ^AY_B ] = [ R 11 R 12 R 13 R 21 R 22 R 23 R 31 R 32 R 33 ] \begin{bmatrix}R11 & R12 & R13 \\ R21 & R22&R23\\R31&R32&R33\\ \end{bmatrix} ⎣⎡​R11R21R31​R12R22R32​R13R23R33​⎦⎤​;

其中每个元素满足：

^AX_B ⋅ \cdot ⋅ ^AX_B = ^AY_B ⋅ \cdot ⋅ ^AY_B = ^AZ_B ⋅ \cdot ⋅ ^AZ_B = 1;

^AX_B ⋅ \cdot ⋅ ^AY_B = ^AY_B ⋅ \cdot ⋅ ^AZ_B = ^AZ_B ⋅ \cdot ⋅ ^AX_B = 0;

一、绕固定轴x-y-z旋转（RPY角）

1-1运动过程

RPY角对应的旋转矩阵，这种描述方法与操作轴末端执行器坐标系的规定方法类似，如下图；

坐标系的运动方式：{B}的开始方位与坐标系{A}重合，首先使得{B}绕X_A旋转 γ \gamma γ 角，在绕Y_A 转 β \beta β 角，最后绕 Z_A转 α \alpha α 角。（白->黄->红->蓝）

1-2旋转矩阵计算

根据坐标系的变换关系，坐标系{B}相对于{A}的旋转矩阵为：注意这里需要右乘，相对于基坐标系而言

^A_BR_xyz( γ \gamma γ , β \beta β, α \alpha α ) = R(Z_A, α \alpha α) ⋅ \cdot ⋅ R(Y_A, β \beta β) ⋅ \cdot ⋅ R(X_A, γ \gamma γ)

= [ c α − s α 0 s α c α 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} c \alpha & -s\alpha& 0 \\ s\alpha & c\alpha&0\\0&0&1\\ \end{bmatrix} ⎣⎡​cαsα0​−sαcα0​001​⎦⎤​ [ c β 0 s β 0 1 0 − s β 0 c β ] \begin{bmatrix} c \beta& 0& s\beta \\0& 1&0\\-s\beta&0&c\beta\\ \end{bmatrix} ⎣⎡​cβ0−sβ​010​sβ0cβ​⎦⎤​ [ 1 0 0 0 c γ − s γ 0 s γ c γ ] \begin{bmatrix} 1 & 0& 0 \\ 0 & c\gamma&-s\gamma\\0&s\gamma&c\gamma\\ \end{bmatrix} ⎣⎡​100​0cγsγ​0−sγcγ​⎦⎤​

= [ c α ⋅ c β c α ⋅ s β ⋅ s γ − s α ⋅ c γ c α ⋅ s β ⋅ c γ + s α ⋅ s γ s α ⋅ c β s α ⋅ s β ⋅ s γ + c α ⋅ c γ s α ⋅ s β ⋅ c γ − c α ⋅ s γ − s β c β ⋅ s γ c β ⋅ c γ ] \begin{bmatrix} c\alpha\cdot c\beta & c\alpha\cdot s\beta \cdot s \gamma - s\alpha\cdot c\gamma&c\alpha\cdot s\beta \cdot c \gamma+s\alpha\cdot s\gamma \\s\alpha\cdot c\beta & s\alpha\cdot s\beta \cdot s \gamma + c\alpha\cdot c\gamma&s\alpha\cdot s\beta \cdot c \gamma-c\alpha\cdot s\gamma \\-s\beta & c\beta \cdot s \gamma &c\beta \cdot c \gamma \\ \end{bmatrix} ⎣⎡​cα⋅cβsα⋅cβ−sβ​cα⋅sβ⋅sγ−sα⋅cγsα⋅sβ⋅sγ+cα⋅cγcβ⋅sγ​cα⋅sβ⋅cγ+sα⋅sγsα⋅sβ⋅cγ−cα⋅sγcβ⋅cγ​⎦⎤​

1-3RPY角计算

已知旋转矩阵^A_BR，令该矩阵和矩阵^A_BR_xyz对应元素相等可得

[ R 11 R 12 R 13 R 21 R 22 R 23 R 31 R 32 R 33 ] \begin{bmatrix}R11 & R12 & R13 \\ R21 & R22&R23\\R31&R32&R33\\ \end{bmatrix} ⎣⎡​R11R21R31​R12R22R32​R13R23R33​⎦⎤​ = [ c α ⋅ c β c α ⋅ s β ⋅ s γ − s α ⋅ c γ c α ⋅ s β ⋅ c γ + s α ⋅ s γ s α ⋅ c β s α ⋅ s β ⋅ s γ + c α ⋅ c γ s α ⋅ s β ⋅ c γ − c α ⋅ s γ − s β c β ⋅ s γ c β ⋅ c γ ] \begin{bmatrix} c\alpha\cdot c\beta & c\alpha\cdot s\beta \cdot s \gamma - s\alpha\cdot c\gamma&c\alpha\cdot s\beta \cdot c \gamma+s\alpha\cdot s\gamma \\s\alpha\cdot c\beta & s\alpha\cdot s\beta \cdot s \gamma + c\alpha\cdot c\gamma&s\alpha\cdot s\beta \cdot c \gamma-c\alpha\cdot s\gamma \\-s\beta & c\beta \cdot s \gamma &c\beta \cdot c \gamma \\ \end{bmatrix} ⎣⎡​cα⋅cβsα⋅cβ−sβ​cα⋅sβ⋅sγ−sα⋅cγsα⋅sβ⋅sγ+cα⋅cγcβ⋅sγ​cα⋅sβ⋅cγ+sα⋅sγsα⋅sβ⋅cγ−cα⋅sγcβ⋅cγ​⎦⎤​

通过比较可得cos β \beta β = ± R 1 1 2 + R 2 1 2 \pm\sqrt {R11^2+R21^2} ±R112+R212 ​ ，通常我们规定 β ∈ [ − 90 , + 90 ] \beta\in[-90,+90] β∈[−90,+90]，所以我们可以得到cos β \beta β = + R 1 1 2 + R 2 1 2 +\sqrt {R11^2+R21^2} +R112+R212 ​。

如果cos β ≠ 0 \beta\neq0 β​=0，则可以得到：
β = A tan ⁡ 2 ( − R 31 , R 1 1 2 + R 2 1 2 ) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\beta = A\tan2(-R31,\sqrt{R11^2+R21^2}) β=Atan2(−R31,R112+R212 ​)
α = A tan ⁡ 2 ( R 21 ， R 11 ) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\alpha = A\tan2(R21，R11) α=Atan2(R21，R11)
γ = A tan ⁡ 2 ( R 32 ， R 33 ) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\gamma = A\tan2(R32，R33) γ=Atan2(R32，R33)
其中 A tan ⁡ 2 ( y , x ) A\tan2(y,x) Atan2(y,x)成为四象限反正切函数

如果cos β = ± 90 \beta = \pm90 β=±90，则只能得到 α 和 γ \alpha和\gamma α和γ的和或差，通常选择 α = 0 \alpha = 0 α=0。

如果cos β = + 90 \beta = +90 β=+90，则可以得到：
β = 90 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\beta = 90 β=90
α = 0 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\alpha = 0 α=0
γ = A tan ⁡ 2 ( R 12 ， R 22 ) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\gamma = A\tan2(R12，R22) γ=Atan2(R12，R22)

如果cos β = − 90 \beta = -90 β=−90，则可以得到：
β = − 90 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\beta = -90 β=−90
α = 0 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\alpha = 0 α=0
γ = − A tan ⁡ 2 ( R 12 ， R 22 ) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\gamma = -A\tan2(R12，R22) γ=−Atan2(R12，R22)

二、绕相对于运动坐标系（ZYX欧拉角）

三、绕相对于运动坐标系（ZYZ欧拉角）

四、旋转变换通式

4-1坐标变换（正解）

{A^’}是与K轴正交的坐标系，{B^’}相对于{A^’}相当于是绕z轴旋转

4-2 等效转轴和等效转角（逆解）

【机器人学】

机器人学基础-旋转变换

空间旋转矩阵中有九个元素，但是这九个元素满足六个约束方程，只有三个独立变量

^A_BX = [ ^AX_B ^AY_B ^AY_B ] = [ R 11 R 12 R 13 R 21 R 22 R 23 R 31 R 32 R 33 ] \begin{bmatrix}R11 & R12 & R13 \\ R21 & R22&R23\\R31&R32&R33\\ \end{bmatrix} ⎣⎡​R11R21R31​R12R22R32​R13R23R33​⎦⎤​;

其中每个元素满足：

^AX_B ⋅ \cdot ⋅ ^AX_B = ^AY_B ⋅ \cdot ⋅ ^AY_B = ^AZ_B ⋅ \cdot ⋅ ^AZ_B = 1;

^AX_B ⋅ \cdot ⋅ ^AY_B = ^AY_B ⋅ \cdot ⋅ ^AZ_B = ^AZ_B ⋅ \cdot ⋅ ^AX_B = 0;

一、绕固定轴x-y-z旋转（RPY角）

1-1运动过程

RPY角对应的旋转矩阵，这种描述方法与操作轴末端执行器坐标系的规定方法类似，如下图；

坐标系的运动方式：{B}的开始方位与坐标系{A}重合，首先使得{B}绕X_A旋转 γ \gamma γ 角，在绕Y_A 转 β \beta β 角，最后绕 Z_A转 α \alpha α 角。（白->黄->红->蓝）

1-2旋转矩阵计算

根据坐标系的变换关系，坐标系{B}相对于{A}的旋转矩阵为：注意这里需要右乘，相对于基坐标系而言

^A_BR_xyz( γ \gamma γ , β \beta β, α \alpha α ) = R(Z_A, α \alpha α) ⋅ \cdot ⋅ R(Y_A, β \beta β) ⋅ \cdot ⋅ R(X_A, γ \gamma γ)

= [ c α − s α 0 s α c α 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} c \alpha & -s\alpha& 0 \\ s\alpha & c\alpha&0\\0&0&1\\ \end{bmatrix} ⎣⎡​cαsα0​−sαcα0​001​⎦⎤​ [ c β 0 s β 0 1 0 − s β 0 c β ] \begin{bmatrix} c \beta& 0& s\beta \\0& 1&0\\-s\beta&0&c\beta\\ \end{bmatrix} ⎣⎡​cβ0−sβ​010​sβ0cβ​⎦⎤​ [ 1 0 0 0 c γ − s γ 0 s γ c γ ] \begin{bmatrix} 1 & 0& 0 \\ 0 & c\gamma&-s\gamma\\0&s\gamma&c\gamma\\ \end{bmatrix} ⎣⎡​100​0cγsγ​0−sγcγ​⎦⎤​

= [ c α ⋅ c β c α ⋅ s β ⋅ s γ − s α ⋅ c γ c α ⋅ s β ⋅ c γ + s α ⋅ s γ s α ⋅ c β s α ⋅ s β ⋅ s γ + c α ⋅ c γ s α ⋅ s β ⋅ c γ − c α ⋅ s γ − s β c β ⋅ s γ c β ⋅ c γ ] \begin{bmatrix} c\alpha\cdot c\beta & c\alpha\cdot s\beta \cdot s \gamma - s\alpha\cdot c\gamma&c\alpha\cdot s\beta \cdot c \gamma+s\alpha\cdot s\gamma \\s\alpha\cdot c\beta & s\alpha\cdot s\beta \cdot s \gamma + c\alpha\cdot c\gamma&s\alpha\cdot s\beta \cdot c \gamma-c\alpha\cdot s\gamma \\-s\beta & c\beta \cdot s \gamma &c\beta \cdot c \gamma \\ \end{bmatrix} ⎣⎡​cα⋅cβsα⋅cβ−sβ​cα⋅sβ⋅sγ−sα⋅cγsα⋅sβ⋅sγ+cα⋅cγcβ⋅sγ​cα⋅sβ⋅cγ+sα⋅sγsα⋅sβ⋅cγ−cα⋅sγcβ⋅cγ​⎦⎤​

1-3RPY角计算

已知旋转矩阵^A_BR，令该矩阵和矩阵^A_BR_xyz对应元素相等可得

[ R 11 R 12 R 13 R 21 R 22 R 23 R 31 R 32 R 33 ] \begin{bmatrix}R11 & R12 & R13 \\ R21 & R22&R23\\R31&R32&R33\\ \end{bmatrix} ⎣⎡​R11R21R31​R12R22R32​R13R23R33​⎦⎤​ = [ c α ⋅ c β c α ⋅ s β ⋅ s γ − s α ⋅ c γ c α ⋅ s β ⋅ c γ + s α ⋅ s γ s α ⋅ c β s α ⋅ s β ⋅ s γ + c α ⋅ c γ s α ⋅ s β ⋅ c γ − c α ⋅ s γ − s β c β ⋅ s γ c β ⋅ c γ ] \begin{bmatrix} c\alpha\cdot c\beta & c\alpha\cdot s\beta \cdot s \gamma - s\alpha\cdot c\gamma&c\alpha\cdot s\beta \cdot c \gamma+s\alpha\cdot s\gamma \\s\alpha\cdot c\beta & s\alpha\cdot s\beta \cdot s \gamma + c\alpha\cdot c\gamma&s\alpha\cdot s\beta \cdot c \gamma-c\alpha\cdot s\gamma \\-s\beta & c\beta \cdot s \gamma &c\beta \cdot c \gamma \\ \end{bmatrix} ⎣⎡​cα⋅cβsα⋅cβ−sβ​cα⋅sβ⋅sγ−sα⋅cγsα⋅sβ⋅sγ+cα⋅cγcβ⋅sγ​cα⋅sβ⋅cγ+sα⋅sγsα⋅sβ⋅cγ−cα⋅sγcβ⋅cγ​⎦⎤​

通过比较可得cos β \beta β = ± R 1 1 2 + R 2 1 2 \pm\sqrt {R11^2+R21^2} ±R112+R212 ​ ，通常我们规定 β ∈ [ − 90 , + 90 ] \beta\in[-90,+90] β∈[−90,+90]，所以我们可以得到cos β \beta β = + R 1 1 2 + R 2 1 2 +\sqrt {R11^2+R21^2} +R112+R212 ​。

如果cos β ≠ 0 \beta\neq0 β​=0，则可以得到：
β = A tan ⁡ 2 ( − R 31 , R 1 1 2 + R 2 1 2 ) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\beta = A\tan2(-R31,\sqrt{R11^2+R21^2}) β=Atan2(−R31,R112+R212 ​)
α = A tan ⁡ 2 ( R 21 ， R 11 ) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\alpha = A\tan2(R21，R11) α=Atan2(R21，R11)
γ = A tan ⁡ 2 ( R 32 ， R 33 ) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\gamma = A\tan2(R32，R33) γ=Atan2(R32，R33)
其中 A tan ⁡ 2 ( y , x ) A\tan2(y,x) Atan2(y,x)成为四象限反正切函数

如果cos β = ± 90 \beta = \pm90 β=±90，则只能得到 α 和 γ \alpha和\gamma α和γ的和或差，通常选择 α = 0 \alpha = 0 α=0。

如果cos β = + 90 \beta = +90 β=+90，则可以得到：
β = 90 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\beta = 90 β=90
α = 0 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\alpha = 0 α=0
γ = A tan ⁡ 2 ( R 12 ， R 22 ) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\gamma = A\tan2(R12，R22) γ=Atan2(R12，R22)

如果cos β = − 90 \beta = -90 β=−90，则可以得到：
β = − 90 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\beta = -90 β=−90
α = 0 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\alpha = 0 α=0
γ = − A tan ⁡ 2 ( R 12 ， R 22 ) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\gamma = -A\tan2(R12，R22) γ=−Atan2(R12，R22)

二、绕相对于运动坐标系（ZYX欧拉角）

三、绕相对于运动坐标系（ZYZ欧拉角）

四、旋转变换通式

4-1坐标变换（正解）

{A^’}是与K轴正交的坐标系，{B^’}相对于{A^’}相当于是绕z轴旋转

4-2 等效转轴和等效转角（逆解）

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