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causal

Stratification Randomized Experiments （SRE）

 

Definition: We conduct K K K independent CREs within the K strata of a discrete covariate X X X.

 

【分层标准：离散协变量 X X X】

 

提出SRE的原因：

CRE wtih 离散协变量 X ∈ { 1 , … , K } X\in\{1,\ldots,K\} X∈{1,…,K}，定义

  • n [ k ] 1 = # { i : X i = k , D i = 1 } n_{[k]1} = \#\{i : X_i = k, D_i = 1 \} n[k]1​=#{i:Xi​=k,Di​=1}: X i = k X_i = k Xi​=k的个体里接受治疗的
  • n [ k ] 0 = # { i : X i = k , D i = 0 } n_{[k]0} = \#\{i : X_i = k, D_i = 0 \} n[k]0​=#{i:Xi​=k,Di​=0}: X i = k X_i = k Xi​=k的个体里对照组的

【问题在于：对于不同的 k k k而言，可以 k k k组内的所有个体都没治疗或者治疗了，这样covariate就不balance了，会导致
n [ k ] 1 n 1 − n [ k ] 0 n 0 \frac{n_{[k]1} }{n_1} -\frac{n_{[k]0} }{n_0} n1​n[k]1​​−n0​n[k]0​​差的特别大，因为有的 n [ k ] 1 n_{[k]1} n[k]1​或者 n [ k ] 0 n_{[k]0} n[k]0​可以为0.】
???为啥要算这个？因为要在每个层内算 E { Y ( 1 ) − Y ( 0 ) } E\{Y(1)-Y(0)\} E{Y(1)−Y(0)}，所以要✖️在这个层里的 D = 1 D=1 D=1 or 0 0 0的概率？？

 

那咋整，那就提前固定 n [ k ] 1 n_{[k]1} n[k]1​或者 n [ k ] 0 n_{[k]0} n[k]0​，让它不是0就行了

定义within stratum k, the proportion of units receiving the treatment is 治疗比例
e [ k ] = n [ k ] 1 n [ k ] e_{[k]} = \frac{n_{[k]1}}{n_{[k]}} e[k]​=n[k]​n[k]1​​
也叫倾向得分（propensity score）

于是，SRE和CRE的区别就是：SRE的 e [ k ] e_{[k]} e[k]​提前固定，但CRE的 e [ k ] e_{[k]} e[k]​是随机的。

分层ACE

For stratum k k k, we have stratum-specific average causal effect
τ [ k ] = n [ k ] − 1 ∑ i : X i = k τ i \tau_{[k]} = n_{[k]}^{-1}\sum_{i:X_i = k}\tau_i τ[k]​=n[k]−1​i:Xi​=k∑​τi​

故ACE为
τ = n − 1 ∑ i = 1 n τ i = n − 1 ∑ k = 1 K ∑ i : X i = k τ i = n − 1 ∑ k = 1 K n [ k ] τ [ k ] = ∑ k = 1 K n [ k ] n τ [ k ] : = ∑ k = 1 K π [ k ] τ [ k ] \tau = n^{-1}\sum_{i=1}^{n}\tau_i = n^{-1} \sum_{k=1}^{K} \sum_{i: X_i = k} \tau_i \\= n^{-1} \sum_{k=1}^{K} n_{[k]}\tau_{[k]} = \sum_{k=1}^{K} \frac{n_{[k]}}{n}\tau_{[k]}\\ := \sum_{k=1}^{K} \pi_{[k]}\tau_{[k]} τ=n−1i=1∑n​τi​=n−1k=1∑K​i:Xi​=k∑​τi​=n−1k=1∑K​n[k]​τ[k]​=k=1∑K​nn[k]​​τ[k]​:=k=1∑K​π[k]​τ[k]​

π [ k ] = n [ k ] n \pi_{[k]} = \frac{n_{[k]}}{n} π[k]​=nn[k]​​: proportion of units in stratum k k k
e [ k ] = n [ k ] 1 n [ k ] e_{[k]} = \frac{n_{[k]1}}{n_{[k]}} e[k]​=n[k]​n[k]1​​: propensity score in stratum k k k

感兴趣的是 τ \tau τ

τ k \tau_k τk​可以用前面的FRT和Neyman’s estimator之类的推断，
τ \tau τ有类似的FRT和Neymanian inference，就是要考虑 π [ k ] \pi_{[k]} π[k]​进去

 
 
 

【写这个主要是为了后面看propensity score时候用，
因为，记倾向得分为 e ( X ) e(X) e(X)，Theorem 11.1得到
在strong ignorability 下，有

if D ⊥ { Y ( 1 ) , Y ( 0 ) } ∣ X D \bot \{Y(1), Y(0)\}|X D⊥{Y(1),Y(0)}∣X$, then D ⊥ { Y ( 1 ) , Y ( 0 ) } ∣ e ( X ) D \bot \{Y(1), Y(0)\}|e(X) D⊥{Y(1),Y(0)}∣e(X)

那么如果 e ( X ) e(X) e(X)已知且离散的话，其实可以将总体按照 e ( X ) = e 1 , … , e K e(X) = e_{1},\ldots,e_{K} e(X)=e1​,…,eK​去分层考虑，这样问题就转换成了SRE。】

 

causal

Stratification Randomized Experiments （SRE）

 

Definition: We conduct K K K independent CREs within the K strata of a discrete covariate X X X.

 

【分层标准：离散协变量 X X X】

 

提出SRE的原因：

CRE wtih 离散协变量 X ∈ { 1 , … , K } X\in\{1,\ldots,K\} X∈{1,…,K}，定义

  • n [ k ] 1 = # { i : X i = k , D i = 1 } n_{[k]1} = \#\{i : X_i = k, D_i = 1 \} n[k]1​=#{i:Xi​=k,Di​=1}: X i = k X_i = k Xi​=k的个体里接受治疗的
  • n [ k ] 0 = # { i : X i = k , D i = 0 } n_{[k]0} = \#\{i : X_i = k, D_i = 0 \} n[k]0​=#{i:Xi​=k,Di​=0}: X i = k X_i = k Xi​=k的个体里对照组的

【问题在于：对于不同的 k k k而言，可以 k k k组内的所有个体都没治疗或者治疗了，这样covariate就不balance了，会导致
n [ k ] 1 n 1 − n [ k ] 0 n 0 \frac{n_{[k]1} }{n_1} -\frac{n_{[k]0} }{n_0} n1​n[k]1​​−n0​n[k]0​​差的特别大，因为有的 n [ k ] 1 n_{[k]1} n[k]1​或者 n [ k ] 0 n_{[k]0} n[k]0​可以为0.】
???为啥要算这个？因为要在每个层内算 E { Y ( 1 ) − Y ( 0 ) } E\{Y(1)-Y(0)\} E{Y(1)−Y(0)}，所以要✖️在这个层里的 D = 1 D=1 D=1 or 0 0 0的概率？？

 

那咋整，那就提前固定 n [ k ] 1 n_{[k]1} n[k]1​或者 n [ k ] 0 n_{[k]0} n[k]0​，让它不是0就行了

定义within stratum k, the proportion of units receiving the treatment is 治疗比例
e [ k ] = n [ k ] 1 n [ k ] e_{[k]} = \frac{n_{[k]1}}{n_{[k]}} e[k]​=n[k]​n[k]1​​
也叫倾向得分（propensity score）

于是，SRE和CRE的区别就是：SRE的 e [ k ] e_{[k]} e[k]​提前固定，但CRE的 e [ k ] e_{[k]} e[k]​是随机的。

分层ACE

For stratum k k k, we have stratum-specific average causal effect
τ [ k ] = n [ k ] − 1 ∑ i : X i = k τ i \tau_{[k]} = n_{[k]}^{-1}\sum_{i:X_i = k}\tau_i τ[k]​=n[k]−1​i:Xi​=k∑​τi​

故ACE为
τ = n − 1 ∑ i = 1 n τ i = n − 1 ∑ k = 1 K ∑ i : X i = k τ i = n − 1 ∑ k = 1 K n [ k ] τ [ k ] = ∑ k = 1 K n [ k ] n τ [ k ] : = ∑ k = 1 K π [ k ] τ [ k ] \tau = n^{-1}\sum_{i=1}^{n}\tau_i = n^{-1} \sum_{k=1}^{K} \sum_{i: X_i = k} \tau_i \\= n^{-1} \sum_{k=1}^{K} n_{[k]}\tau_{[k]} = \sum_{k=1}^{K} \frac{n_{[k]}}{n}\tau_{[k]}\\ := \sum_{k=1}^{K} \pi_{[k]}\tau_{[k]} τ=n−1i=1∑n​τi​=n−1k=1∑K​i:Xi​=k∑​τi​=n−1k=1∑K​n[k]​τ[k]​=k=1∑K​nn[k]​​τ[k]​:=k=1∑K​π[k]​τ[k]​

π [ k ] = n [ k ] n \pi_{[k]} = \frac{n_{[k]}}{n} π[k]​=nn[k]​​: proportion of units in stratum k k k
e [ k ] = n [ k ] 1 n [ k ] e_{[k]} = \frac{n_{[k]1}}{n_{[k]}} e[k]​=n[k]​n[k]1​​: propensity score in stratum k k k

感兴趣的是 τ \tau τ

τ k \tau_k τk​可以用前面的FRT和Neyman’s estimator之类的推断，
τ \tau τ有类似的FRT和Neymanian inference，就是要考虑 π [ k ] \pi_{[k]} π[k]​进去

 
 
 

【写这个主要是为了后面看propensity score时候用，
因为，记倾向得分为 e ( X ) e(X) e(X)，Theorem 11.1得到
在strong ignorability 下，有

if D ⊥ { Y ( 1 ) , Y ( 0 ) } ∣ X D \bot \{Y(1), Y(0)\}|X D⊥{Y(1),Y(0)}∣X$, then D ⊥ { Y ( 1 ) , Y ( 0 ) } ∣ e ( X ) D \bot \{Y(1), Y(0)\}|e(X) D⊥{Y(1),Y(0)}∣e(X)

那么如果 e ( X ) e(X) e(X)已知且离散的话，其实可以将总体按照 e ( X ) = e 1 , … , e K e(X) = e_{1},\ldots,e_{K} e(X)=e1​,…,eK​去分层考虑，这样问题就转换成了SRE。】

 

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