超大浮点数＋超小浮点数解析

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超大浮点数＋超小浮点数解析

搜遍全网都是用两个小浮点数加法来解释，且不是按32位总长度来表示，各种原反补码绕来绕去，冗长聒噪，因此决定另辟蹊径讲解:

感性认识:超大浮点数加超小浮点数常常会丢失超小浮点数，也就是加不进去，下面谈下我的理解。

单精度浮点数float有32位，第1位是符号位(0表示此浮点数是正数，1表示此浮点数是负数)，接着8位是指数位，范围为0~255，其中0和255是特殊情况:

1、指数为0时，规定其真正指数值大小为1－127即-126，且规定此时尾数开头隐含的那1位值是0，因此尾数范围下限是:

0.0000 0000 0000 0000 0000 000(23位全是0，当然值就是0)

尾数范围的上限是:

0.1111 1111 1111 1111 1111 111(23位全是1，值为1减2的负23次方，即0.99987792964)

综上此时浮点数值非负的范围下限是0，上限是0.99987792964*2^－126可写为[0，1)*2^－126，负数部分范围同理，提示这只是范围，不表示可以取到这个范围中的任何值，只能有选择的表示，能精确表示的是那些可以分解为多个2^n之和的数。

2、指数为255时，又规定了两种情况:当尾数小数部分全为0是，表示±∞；若尾数小数部分不全为0，这表示不是一个数

3、指数为1~254时，规定减去127得到-126~127为实际指数值，而此时尾数范围下限是:

1.0000 0000 0000 0000 0000 000(23位全是0，加上首位1，当然值就是1)

尾数范围的上限是:

1.1111 1111 1111 1111 1111 111(24位全是1，值为2减2的负23次方，即1.99987792964)

综上此时浮点数值非负的范围下限是1*2^-126，此下限刚好连接上指数全为0时的上限0.99987792964*2^－126，上限是1.99987792964*2^127趋近于2*2^127，负数部分范围同理，因此浮点数范围是±2^128，也就是±3.40282367E38

试想指数和尾数为这种情况时:

1.1111 1111 1111 1111 1111 111*2^23值为16777215再加1就是16777216即1.0000 0000 0000 0000 0000 000*2^24，在1~16777216范围分辨率是1，因此这个范围内的整数，浮点数都可以精确表示，在16777217~33554432范围内，也就是1.0000 0000 0000 0000 0000 001*2^24到1.0000 0000 0000 0000 0000 000*2^25这个范围内，尾数在小数点后第23位加1，浮点数值就加2，因此分辨率是2，这个范围中的有些数不能精确表示，如16777217、16777219、16777221……等。因为第8位有大小为1的误差，所以第7位可能有误差，但第6位肯定没有误差，所以浮点数有效位数为6到7位。

重点，浮点数相加时，要先进行对阶，指数小的要变成和指数大的一样大，因此小浮点数的尾数要相应右移，移动位数为大小浮点数指数的差值

下面以超大浮点数8589934592.0即1.0000 0000 0000 0000 0000 000*2^33为例，在8589934592.0~17179869184.0范围内，分辨率为2^(33－23)即1024，而512.0即1.0000 0000 0000 0000 0000 000*2^9

下面当8589934592.0＋512.0时有:

1.0000 0000 0000 0000 0000 000*2^33

1.0000 0000 0000 0000 0000 000*2^9

对阶时有:

1.0000 0000 0000 0000 0000 000*2^33

0.0000 0000 0000 0000 0000 0001*2^33

然后相加，相加时要包含移出的位，有:

1.0000 0000 0000 0000 0000 0001*2^33

此时尾数小数部分有24位，多了1位，该位要舍去，但不是简单的舍去:舍去部分的值若超过此时第23位权的一半就在第23加1，否则不加，这里我们第23位的权为2^(33－23)即1024，舍去值为512，未超过1024的一半，因此直接舍去，结果就是8589934592.0＋512.0结果还是8589934592.0

思考一下，8589934592.0最少加多少会变成8589935616.0?

由上面的结论可知，只要超过512.0就会加1024.0，那单精度浮点数在512.0之后能精确表示的第一个浮点数是什么?

当然是:

1.0000 0000 0000 0000 0000 001*2^9

即512.00006103516

所以8589934592.0＋512.00006103516=8589935616.0

你以为就这样?

由于在大于512.0小于1024.0这个区间，单精度浮点数的分辨率为2^(9－23)=0.00006103516，因此在大于512.0小于512.00006103516范围内的数浮点数都是都无法表示的，这就是表示误差，当向编译器输入值为大于512.0等于512.00003051758时会存储为512.0，而输入大于512.00003051758小于等于512.00006103516时就存储为512.00006103516

因为IEEE754浮点数对于无法精确表示的浮点数默认采用的是向偶舍入，即4舍6入5取偶，但对于浮点数而言，什么是奇？什么是偶呢？规定如下：将浮点数化为IEEE754格式后，其尾数中，小数点右侧第23位，即最后一位为1就是奇，为0就是偶，显然512.00003051758的IEEE754格式为1.0000 0000 0000 0000 0000 0001*2^9，第23位为0是偶，所以第24位直接舍去，整体值为1.0000 0000 0000 0000 0000 000*2^9，也就是512.0；

所以在编译器中对单精度浮点数输入:

8589934592.0＋512.00003051759时编译器进行的是:

8589934592.0＋512.00006103516

经过舍入得到的是8589934592.0+1024.0=8589935616.0

以上就是我肤浅的理解，如有不当之处，欢迎指正😃

超大浮点数＋超小浮点数解析

搜遍全网都是用两个小浮点数加法来解释，且不是按32位总长度来表示，各种原反补码绕来绕去，冗长聒噪，因此决定另辟蹊径讲解:

感性认识:超大浮点数加超小浮点数常常会丢失超小浮点数，也就是加不进去，下面谈下我的理解。

单精度浮点数float有32位，第1位是符号位(0表示此浮点数是正数，1表示此浮点数是负数)，接着8位是指数位，范围为0~255，其中0和255是特殊情况:

1、指数为0时，规定其真正指数值大小为1－127即-126，且规定此时尾数开头隐含的那1位值是0，因此尾数范围下限是:

0.0000 0000 0000 0000 0000 000(23位全是0，当然值就是0)

尾数范围的上限是:

0.1111 1111 1111 1111 1111 111(23位全是1，值为1减2的负23次方，即0.99987792964)

综上此时浮点数值非负的范围下限是0，上限是0.99987792964*2^－126可写为[0，1)*2^－126，负数部分范围同理，提示这只是范围，不表示可以取到这个范围中的任何值，只能有选择的表示，能精确表示的是那些可以分解为多个2^n之和的数。

2、指数为255时，又规定了两种情况:当尾数小数部分全为0是，表示±∞；若尾数小数部分不全为0，这表示不是一个数

3、指数为1~254时，规定减去127得到-126~127为实际指数值，而此时尾数范围下限是:

1.0000 0000 0000 0000 0000 000(23位全是0，加上首位1，当然值就是1)

尾数范围的上限是:

1.1111 1111 1111 1111 1111 111(24位全是1，值为2减2的负23次方，即1.99987792964)

综上此时浮点数值非负的范围下限是1*2^-126，此下限刚好连接上指数全为0时的上限0.99987792964*2^－126，上限是1.99987792964*2^127趋近于2*2^127，负数部分范围同理，因此浮点数范围是±2^128，也就是±3.40282367E38

试想指数和尾数为这种情况时:

1.1111 1111 1111 1111 1111 111*2^23值为16777215再加1就是16777216即1.0000 0000 0000 0000 0000 000*2^24，在1~16777216范围分辨率是1，因此这个范围内的整数，浮点数都可以精确表示，在16777217~33554432范围内，也就是1.0000 0000 0000 0000 0000 001*2^24到1.0000 0000 0000 0000 0000 000*2^25这个范围内，尾数在小数点后第23位加1，浮点数值就加2，因此分辨率是2，这个范围中的有些数不能精确表示，如16777217、16777219、16777221……等。因为第8位有大小为1的误差，所以第7位可能有误差，但第6位肯定没有误差，所以浮点数有效位数为6到7位。

重点，浮点数相加时，要先进行对阶，指数小的要变成和指数大的一样大，因此小浮点数的尾数要相应右移，移动位数为大小浮点数指数的差值

下面以超大浮点数8589934592.0即1.0000 0000 0000 0000 0000 000*2^33为例，在8589934592.0~17179869184.0范围内，分辨率为2^(33－23)即1024，而512.0即1.0000 0000 0000 0000 0000 000*2^9

下面当8589934592.0＋512.0时有:

1.0000 0000 0000 0000 0000 000*2^33

1.0000 0000 0000 0000 0000 000*2^9

对阶时有:

1.0000 0000 0000 0000 0000 000*2^33

0.0000 0000 0000 0000 0000 0001*2^33

然后相加，相加时要包含移出的位，有:

1.0000 0000 0000 0000 0000 0001*2^33

此时尾数小数部分有24位，多了1位，该位要舍去，但不是简单的舍去:舍去部分的值若超过此时第23位权的一半就在第23加1，否则不加，这里我们第23位的权为2^(33－23)即1024，舍去值为512，未超过1024的一半，因此直接舍去，结果就是8589934592.0＋512.0结果还是8589934592.0

思考一下，8589934592.0最少加多少会变成8589935616.0?

由上面的结论可知，只要超过512.0就会加1024.0，那单精度浮点数在512.0之后能精确表示的第一个浮点数是什么?

当然是:

1.0000 0000 0000 0000 0000 001*2^9

即512.00006103516

所以8589934592.0＋512.00006103516=8589935616.0

你以为就这样?

由于在大于512.0小于1024.0这个区间，单精度浮点数的分辨率为2^(9－23)=0.00006103516，因此在大于512.0小于512.00006103516范围内的数浮点数都是都无法表示的，这就是表示误差，当向编译器输入值为大于512.0等于512.00003051758时会存储为512.0，而输入大于512.00003051758小于等于512.00006103516时就存储为512.00006103516

因为IEEE754浮点数对于无法精确表示的浮点数默认采用的是向偶舍入，即4舍6入5取偶，但对于浮点数而言，什么是奇？什么是偶呢？规定如下：将浮点数化为IEEE754格式后，其尾数中，小数点右侧第23位，即最后一位为1就是奇，为0就是偶，显然512.00003051758的IEEE754格式为1.0000 0000 0000 0000 0000 0001*2^9，第23位为0是偶，所以第24位直接舍去，整体值为1.0000 0000 0000 0000 0000 000*2^9，也就是512.0；

所以在编译器中对单精度浮点数输入:

8589934592.0＋512.00003051759时编译器进行的是:

8589934592.0＋512.00006103516

经过舍入得到的是8589934592.0+1024.0=8589935616.0

以上就是我肤浅的理解，如有不当之处，欢迎指正😃

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